Departamento de Física - CCNE/UFSM

Exercícios - Oscilações

Um movimento harmônico unidimensional pode ser caracterizado pea equação diferencial

$${d^2x \over dt ^2} + 2\gamma {dx\over dt} +{\omega_{\rm o}}^2 x = f(t) ,$$ (1)

onde $x= x(t)$ é a função que descreve o movimento em função do tempo $t$, e $\omega_{\rm o}$ é freqüência angular natural do sistema, $\gamma$ uuma constante de atrito, e $f(t)$ é o termo forçante, que representa as forças externas adicionais aplicadas ao sistema.
1) Determine as unidades (dimensões físicas) das constantes $\omega_{\rm o}$, $\gamma$ e de $f(t)$ nos casos em que (i) $x(t)$ tem dimensões de comprimento e (ii) $x(t)$ é variável angular (medido em radianos).

A solução dessa equaço para $x(t)$ pode ser escrita como a soma de duas funções $x(t) = x_{\rm h}(t) + x_{\rm p} (t)$, onde $x_{\rm h}(t)$ é solução da equação homogênea (com $f(t)=0$).

$${d^2x_{\rm h} \over dt ^2} + 2\gamma {dx_{\rm h}\over dt} +{\omega_{\rm o}}^2 x_{\rm h} = 0 ,$$ (2)

2) Suponha que as solução da equação (2) são da forma $${x_{\rm h}(t) = A_{\rm o} {\rm e}^{\alpha t}}$$, onde $A_{\rm o}$ e $\alpha$ são constantes arbitrárias. Verifique que essa equação implica que $\alpha$ deve assumir os valores $${-\gamma \pm\sqrt{\gamma^2- \omega_{\rm o}^2}}$$, enquanto que $A_{\rm o}$ não é determinado por essa equação. Observe, então, que a função $x_{\rm h}(t)= \displaystyle{{\rm e}^{-\gamma t}\left( A_1 {\rm e}^{ \beta t} + A_2 {\rm e}^{-\beta t}\right)}$, $A_1$ e $A_2$ constantes, e $\beta = \displaystyle{ \sqrt{\gamma^2- \omega_{\rm o}^2}}$, é solução da Eq. (2).
A solução encontrada no problema (2) tem três casos particulares:

3.a) Movimento super-amortecido: Qual a condição para que a constante $\beta$ do item (a) beta seja um número real? Verifique que, se $\beta >0$, então $x_{\rm h}(t)$ é a soma de exponenciais decrescentes no tempo.
3.b) Movimento criticamente amortecido: Mostre (verifique) que $x_{\rm h}(t)= \displaystyle{a{\rm e}^{ -\gamma t} (a_1 t + b_1)}$, $a_1$ e $b_1$ constantes, também é solução da Eq. (2) se $\gamma=\omega_{\rm o}$.
3.c) Oscilador sub-amortecido: Verifique que a função $x_{\rm h} (t) = A \displaystyle{\rm e^{-\gamma t} \cos\left(\omega' t + \phi\right)}$, com $A$ a $\phi$ constantes também é solução. Determine $\omega'$ nesse caso.

4- Num oscilador amortecido há uma força externa aplicada tal que $f(t) = f_{\rm o} \cos(\omega t)$ onde $f_{\rm o}$ e $\omega$ são constantes.
4.a) Determine as unidades das constantes $f_{\rm o}$ e $\omega$ nos casos do problema (1).
4.b) Verifique que com tal termo forçante a solução particular pode ser escrita da forma $x_p(t) = A\cos(\omega t -\delta)$, onde

$$A = {f_{\rm o} \over \sqrt{\left({\omega_{\rm o}}^2-{\omega}^... ...delta = {2\gamma\omega\over{\omega_{\rm o}}^2-{\omega}^2} \, .$$

4.c) Estabeleça a condição de ressonância (O máximo da amplitude de $x_{\rm p}(t)$ em função de $\omega$).
4.d) Encontre a potência média num período e mostre que a potência transferida pelo termo forçante $f(t)$ é máxima na ressonância.

5- Um pêndulo simples, cuja massa é $m= 0,1kg$ e cujo comprimento é $l=10cm$, é mergulhado num fluido e está submetido ao campo gravitacional da Terra. A viscosidade do fluido causa uma força de atrito sobre a massa proporcional a sua velocidade da forma $f_a = - b v$, onde $b$ é uma constante positiva.
a) Encontre a equação de movimento, e mostre que, para pequenas oscilações ($\theta$), o pêndulo se comporta como um oscilador amortecido. Ignore o empuxo do fluido sobre a massa.
b) Determine os intervalos de valores de $b$ tais que o movimento do pêndulo seja (i) super-amortecido, (ii) criticamente amortecido e (iii) sub-amortecido.
c) Faça $b= 2kg/s$ e encontre a freqüência e o período de oscilação do pêndulo.
d) Encontre o tempo necessário para que a amplitude das oscilações amortecidas se reduzam a metade do valor inicial.
e) Qual o tempo necessário para que a energia mecânica se reduza a metade do valor inicial?